러셀 역설의 이야기
1900 쯤 수학 집합론에는 세 가지 유명한 역설이 등장했고, 바버 역설은 러셀 역설의 통속적인 표현이다. 게다가, 콘토르 역설과 블레 포르시의 역설도 있다. 이러한 역설들, 특히 러셀 역설은 당시 수학과 논리계에 큰 진동을 일으켰다. 수학의 세 번째 위기를 불러일으켰다. 역설 먼저 역설이 무엇인지 알아봅시다. Paradox 는 "많이 생각하다" 를 의미하는 그리스어 "para+dokein" 에서 유래했다. 이 단어의 의미는 풍부하고, 인간의 직관과 일상적인 경험과 모순되는 모든 수학적 결론을 담고 있으며, 그 결론은 우리를 경탄하게 한다. 역설은 모순된 명제이다. 즉, 이 명제가 인정되면, 그 부정적인 명제가 성립되었다고 추론할 수 있다. 반면에, 이 명제의 부정적인 명제를 인정한다면, 이 명제의 성립을 추론할 수 있다. 만약 그것이 사실이라는 것을 인정한다면, 일련의 정확한 추리를 거쳐 결론은 거짓이다. 만약 네가 그것이 거짓이라는 것을 인정하고, 일련의 정확한 추리를 거친다면, 그것은 사실이다. 동서고금에 많은 유명한 역설이 있는데, 이들은 논리와 수학의 기초에 충격을 주고, 사람들의 지식과 정확한 사고를 자극하며, 예나 지금이나 많은 사상가와 애호가들의 관심을 불러일으켰다. 역설 문제를 해결하려면 창의적인 사유가 필요하지만 역설의 해결은 종종 새로운 사고를 가져다 줄 수 있다. (윌리엄 셰익스피어, 역설, 역설, 역설, 역설, 역설, 역설) 역설에는 세 가지 주요 형식이 있다. 1 .. 단언은 틀린 것 같지만 사실은 옳다. 2. 단언은 확실히 옳아 보이지만 사실은 틀렸다 (그럴듯한 이론). 일련의 추론은 빈틈없는 것처럼 보이지만 논리적 갈등을 초래한다. 러셀 역설의 정의: M: 집합 자체를 포함하는 모든 집합; N: 컬렉션 자체를 포함하지 않는 모든 컬렉션 Q: n ∩ m 또는 n? N ∩ m 인 경우 n 은 m 의 특징을 가지고 있으며, m 의 정의에 따라 n 은 집합 자체를 포함하지만 n 의 정의와 모순됩니다. N ∝ n 이면 n 은 n 의 정의와 모순되는 고유한 특징을 가지고 있음을 의미합니다. 그러나 m+n 은 모든 컬렉션 도메인을 통과하므로 N 은 빈 세트가 아닙니다. 그래서 역설이 생겨났습니다. 러셀 역설의 예: 세계문학의 거작 돈키호테' 에는 돈키호테의 하인 산추 판사가 섬으로 달려가 섬의 왕이 된 이야기가 있다. 그는 이상한 법률을 제정했다: 이 섬에 도착한 모든 사람들은 반드시 한 가지 질문에 답해야 한다. "여기서 뭐하는 거야?" " 답이 맞으면 섬에 가서 놀게 하고, 답이 틀리면 목을 매어라. 섬에 오는 모든 사람들에게 그들은 재미를 찾거나 교수형을 당했다. 얼마나 많은 사람들이 감히 생명의 위험을 무릅쓰고 이 섬에서 놀고 있습니까? 어느 날 대담한 사람이 왔다. 전례대로 그에게 이 문제를 묻자, 그 사람의 대답은 "나는 목매어 죽이러 왔다." 였다. 산추 판사가 그를 섬에서 놀게 할 것인가, 아니면 목매달아 죽일 것인가? 만약 그가 섬에서 놀도록 허락되어야 한다면, 이것은 그가 말한' 교수형' 과 일치하지 않는다. 즉, 그가 말한' 교수형' 은 잘못된 것이다. 그가 틀렸으니, 그는 교수형에 처해져야 한다. 하지만 만약 산추 판사가 그를 교수형에 처하려고 한다면? 이때 그가 말한' 교수형에 처해야 한다' 는 것은 사실과 일치한다. 그가 맞혔으니 교수형에 처해서는 안 되고 섬에서 놀게 해야 한다. 이 섬의 왕은 그의 법이 집행될 수 없다는 것을 발견했다. 어쨌든 집행되면 파괴될 것이기 때문이다. 그는 생각하고 또 생각하고, 결국 경비원에게 그를 놓아주고, 법률이 무효라고 선포했다. 이것은 또 하나의 역설이다. 유명한 수학자 버틀랜드 러셀 (Russel, 1872- 1970) 이 제기한 역설도 비슷하다 나는이 도시에서 면도하지 않는 모든 사람들에게 면도를 할 것이고, 나는이 사람들에게만 면도를 할 것이다. 여러분께 열렬한 환영을 표합니다! " 남이 그에게 와서 면도를 하니, 당연히 자기가 면도하지 않는 사람이다. 그런데 어느 날 이발사가 거울 속에서 그의 수염이 자라는 것을 보았다. 그는 본능적으로 면도기를 잡았다. 너는 그가 스스로 면도할 수 있다고 생각하니? 만약 그가 스스로 면도하지 않는다면, 그는' 스스로 면도하지 않는 사람' 에 속한다. 그는 스스로 면도해야 한다. 만약 그가 스스로 면도한다면요? 그는' 자기가 면도하는 사람' 에 속하므로 스스로 긁어서는 안 된다. 바버의 역설과 러셀 역설은 동등하다. 모든 사람을 하나의 집합이라고 생각한다면, 이 집합의 원소는 이 사람이 깎을 대상으로 정의되기 때문이다. 그런 다음 이발사는 그의 원소가 마을의 모든 소장품이며, 마을의 모든 소장품은 그의 소장품이 아니라고 주장했다. 그럼 그는 자기 소유인가요? 이로써 바버의 역설에서 러셀 역설이 나왔다. 역변환도 마찬가지다. 19 세기 후반의 영향으로 콘토르는 유명한 집합론을 창설했는데, 이 이론은 처음 생겨났을 때 많은 사람들의 심한 비난을 받았다. 하지만 곧 이 획기적인 성과는 많은 수학자들에게 받아들여지고 광범위하고 높은 찬사를 받았다. 수학자들은 자연수와 칸토르의 집합론에서 전체 수학 빌딩을 건립할 수 있다는 것을 발견했다. 따라서 집합론은 현대 수학의 초석이 되었다. "모든 수학적 성과는 집합론에 기초할 수 있다" 는 발견으로 수학자들을 도취시켰다. 1900 년, 국제 수학자 대회에서 프랑스의 유명한 수학자 푸앵카레는 ".집합론의 개념으로 우리는 전체 수학 빌딩을 지을 수 있다. 오늘, 우리는 이미 절대적인 엄격함에 도달했다고 말할 수 있다." 그러나 좋은 경치는 길지 않다. 1903, 수학계에 충격을 준 소식이 나왔다: 집합론에 결함이 있다! 이것은 영국의 수학자 러셀이 제기한 유명한 러셀 역설이다. 러셀 역설은 집합론 위기를 촉발시켰다. 매우 간단하고 이해하기 쉬우며, 집합론에서 가장 기본적인 것만 관련되어 있다. 그래서 러셀 역설이 제기되자마자 당시 수학계와 논리계에 큰 진동을 일으켰다. 독일의 저명한 논리학자 프리스는 그의' 집합론 기초' 가 인쇄가 완료되었을 때 러셀의 이 역설에 관한 편지를 받았다. 그는 자신이 오랫동안 바빴던 일련의 성과가 모두 이 역설에 의해 망쳐졌다는 것을 곧 깨달았다. 그는 책의 끝에만 이렇게 쓸 수 있었다. "과학자의 최악의 일은 그의 일이 곧 완성될 때 자신의 일의 기초가 무너진 것을 발견하는 것이다. (존 F. 케네디, 일명언) (알버트 아인슈타인, 과학명언)." 1874 년에 독일의 수학자 콘토르는 집합론을 창설했고, 집합론은 곧 대부분의 가지에 스며들어 그들의 기초가 되었다. 19 말까지 거의 모든 수학은 집합론에 기반을 두고 있다. 이때 집합론에서 서로 모순되는 결과가 나왔다. 특히 러셀이 1902 에서 제기한' 이발사의 이야기' 에 반영된 역설은 매우 간단하고 통속적이며 이해하기 쉽다. 이렇게 해서 수학의 기초가 수동적으로 흔들렸는데, 이것이 이른바 제 3 의' 수학 위기' 이다. 러셀 역설이 발표된 후 일련의 역설을 발견했다. 1, 리처드 역설 2, 페리 역설 3. 그린과 넬슨의 역설. 러셀 역설을 해결하자 위기 이후 수학자들은 잇달아 자신의 해결책을 제시했다. 집합의 정의를 제한함으로써 콘토의 집합론을 개조하고 역설을 없애려면 새로운 원칙을 세워야 한다. "이 원칙들은 모든 모순을 없애기 위해 충분히 좁혀야 한다. 반면에, 그것은 칸토르 집합론의 모든 가치 있는 내용을 보존할 수 있을 만큼 충분히 넓어야 한다. " 1908 년, 제멜로는 자신의 원리를 바탕으로 첫 공리집합론 체계를 제시했고, 이후 이 공리집합론 체계는 콘토르의 소박한 집합론의 결함을 크게 보완했다. ZF 시스템 외에도 집합론에는 Neumann 등이 제시한 NBG 시스템과 같은 많은 공리체계가 있다. 공리화 집합체계의 설립은 집합론의 역설을 성공적으로 배제하여 제 3 차 수학 위기를 성공적으로 해결했다. 그러나 다른 한편으로는 러셀 역설이 수학에 미치는 영향은 더욱 심오하다. 수학의 기본 문제를 처음으로 가장 절실한 수요로 수학자 앞에 두고 수학자를 안내하여 수학의 기본 문제를 연구하게 한다. 이 방면의 진일보한 발전은 전체 수학에 깊은 영향을 미쳤다. 예를 들어, 수학의 기초를 둘러싼 논쟁은 현대 수학사에서 세 개의 유명한 수학 학파를 형성하였으며, 각 학파의 일은 수학의 대발전을 촉진시켰다. 수학사에서 세 번의 역설로 인한 수학 위기와 경험을 간략하게 소개한 가운데 역설이 수학 발전에 큰 역할을 한다는 것을 쉽게 알 수 있다. 어떤 사람들은 "한 가지 문제를 제기하는 것은 절반을 해결하는 것" 이라고 말합니다. 역설은 수학자들이 피할 수 없는 것입니다. 수학자에게 이렇게 말했습니다. "저를 해결하세요. 그렇지 않으면 제가 당신의 시스템을 삼킬 겁니다!" 힐버트가' 무한론' 기사에서 지적한 바와 같이,' 이러한 역설에 직면하여 우리가 처한 상황은 장기적으로 용인할 수 없다는 것을 인정해야 한다. 사람들은 수학이라는 신뢰성과 진액이라는 모델에서 모두가 배우고 가르치고 적용한 개념 구조와 추리 방법이 불합리한 결과를 초래할 수 있다고 상상한다. 수학적 사고조차도 실패한다면, 우리는 어디에서 신뢰성과 진실성을 찾아야 합니까? "역설의 출현으로 수학자들은 그것을 해결하기 위해 최대의 열정을 쏟아부었다. 역설을 해결하는 과정에서 여러 가지 이론이 생겨났다. 첫 번째 수학 위기는 공리기하학과 논리의 탄생으로 이어졌다. 제 2 차 수학 위기는 분석 기초 이론의 보완과 집합론의 건립을 촉진시켰다. 세 번째 수학 위기는 수리논리의 발전과 현대수학의 출현을 촉진시켰다. 수학이 번창하는 것은 아마도 러셀 역설이 중요한 역할을 한 수학적 역설의 의미일 것이다. 이성은 자신에 대한 질문에 대답할 수 없다. 이것은 칸트 시대에 발견한 것이다. 논리적으로 보완할 수 없는 허점이 있지만, 사람들이 세상을 알 수 있는 유일한 길이다. 결국 당신은 이성을 부정하거나 신앙을 부정하는 것을 발견할 수 있을 것이다. (존 F. 케네디, 믿음명언) 소위 유심주의와 유물주의의 투쟁은 이런 불완전한 논리 체계 위에 세워진 순이성과학이기 때문이다. 이성은 스스로 판단할 수 없기 때문에, 입장의 선택은 이성의 기초 위에 세워질 수 없고, 따라서 본질적인 미신이 될 수 있다. 물론, 자신의 입장이 소위 과학이나 실천에 부합한다고 주장한다면, 사실 당신은 유물주의자도 유심주의자도 아니며, 본질적으로 범경험주의나 범논리주의일 뿐이다. 물론, 이곳의 논리주의는 당연히 러셀의 것이 아니라, 단지 이미지점일 뿐이다.