魅力無比的定理證明
-勾股定理的證明
勾股定理是幾何學中的壹顆明珠，因此它充滿魅力。幾千年來，人們壹直渴望證明它，包括著名數學家、業余數學家、普通人、尊貴的政要甚至國家總統。也許正是因為勾股定理的重要、簡單和吸引人，它才被反復炒作和論證了數百次。1940年出版了壹本勾股定理證明專輯，裏面收集了367種不同的證明方法。事實上，還不止這些。有資料表明，勾股定理的證明方法有500多種，僅清末數學家華就提供了20多種精彩的證明方法。這是任何定理都無法比擬的。
在這數百種證明方法中，有些非常精彩，有些非常簡潔，有些因為證人的特殊身份而非常著名。
首先介紹勾股定理最精彩的兩個證明，據說分別來自中國和希臘。
1中國方法
畫兩個邊長為（a+b）的正方形，如圖所示，其中A和B為直角邊，C為斜邊。這兩個正方形全等，所以面積相等。
左圖和右圖各有四個與原始直角三角形相同的三角形，並且左右三角形的面積之和必須相等。如果從左圖和右圖中刪除四個三角形，則該圖剩余部分的面積將相等。左圖還剩兩個方塊，分別以A和B為邊。在右邊，有壹個以C為邊的正方形。因此
a2+b2=c2。
這是我們幾何課本中介紹的方法。直觀簡單，任何人都能理解。
2.希臘方法
直接在直角三角形的三條邊上畫正方形，如圖所示。
很容易看出，
△ABA‘≔△AA‘‘C。
通過C畫壹條到A‘b‘的垂直線，在C‘處與AB交叉，在C‘處與A‘b‘交叉。
△ABA′和正方形ACDA′的底高相同，前者是後者面積的壹半，△AA′″C和矩形AA′″C″的底高相同，前者是後者面積的壹半。從△ABA‘≔△AA‘‘C可知，正方形ACDA‘的面積等於矩形AA‘‘C‘‘的面積。同樣，正方形BB‘EC的面積等於矩形b‘‘BC‘‘C‘‘的面積。
所以，
S平方AA‘B‘‘B = S平方ACDA‘+S平方BB‘EC，
也就是a2+b2=c2。
至於三角形面積是同底同高的矩形面積的壹半，可以用挖填法求得（請自行證明）。這裏只用到了簡單的面積關系，不涉及三角形和矩形的面積公式。
這是古希臘數學家歐幾裏得在《幾何原本》中的證明。
上述兩種證明方法非常好，因為它們使用的定理很少，並且只使用了兩個基本的面積概念:
（1）同余面積相等；
⑵將壹個圖形分成若幹部分，每個部分的面積之和等於原圖形的面積。
這是壹個任何人都能理解的完全可以接受的簡單概念。
中國歷代數學家證明勾股定理的方法很多，也有很多勾股定理的插圖，其中趙雙（即趙）在《勾股正方形插圖》壹文中證明了勾股定理，該文附於《周髀算經》。使用挖填法:
如圖所示，圖中的四個直角三角形塗上朱紅色，中間的小正方形塗上黃色，稱為中間黃色實心，以弦為邊的正方形稱為弦實心。然後，經過東拼西湊和匹配，他肯定了勾股和弦之間的關系符合勾股定理。即“畢達哥拉斯股互乘，是弦實，方分，即弦也。”
趙爽對勾股定理的證明表明中國數學家具有高超的證明問題的思想，簡潔而直觀。
西方許多學者研究了畢達哥拉斯定理並給出了許多證明方法，其中畢達哥拉斯給出了有文字記載的最早證明。據說他證明勾股定理時欣喜若狂，殺了壹百頭牛慶祝。因此，西方國家也稱勾股定理為“百牛定理”。遺憾的是，畢達哥拉斯的證明方法早已失傳，我們也無從得知他的證明方法。
以下是美國第二十任總統加菲爾德對勾股定理的證明。
如圖所示，
s梯形ABCD =（a+b）2
=（a2+2ab+B2），①
和S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED。
= ab+ ba+ c2
=（2ab+C2）。②
比較以上兩個公式，我們可以得到
a2+b2=c2。
這個證明相當簡潔，因為它使用了梯形面積公式和三角形面積公式。
4月1876日，加菲爾德在《新英格蘭教育雜誌》上發表了他對勾股定理的證明。五年後，加菲爾德成為美國第二十任總統。後來，為了紀念他對勾股定理直觀、簡單、易懂、清晰的證明，人們把這個證明稱為勾股定理的“總統式”證明，傳為數學史上的壹段佳話。
研究相似三角形後，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高度將直角三角形分成兩個與原三角形相似的直角三角形。
如圖所示，在Rt△ABC中，∠ ACB = 90。使CD⊥BC，而立足則是婷法則
△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。
從△BCD∽△BAC可以得到BC2=BD？BA，①
AC2=AD可以從△CAD∽△BAC得到？AB。②
我們發現把①和②相加，我們可以得到。
BC2+AC2=AB，
並且AD+BD=AB，
所以有BC2+AC2=AB2，也就是
a2+b2=c2。
這也是證明勾股定理的壹種方法，也很簡潔。它利用了相似三角形的知識。
在勾股定理的眾多證明中，人們也犯了壹些錯誤。如果有人給出以下證明勾股定理的方法:
根據余弦定理，設△ABC，∠c = 90°
c2=a2+b2-2abcosC，
因為∠c = 90°，所以CosC=0。因此
a2+b2=c2。
這種看似正確簡單的證明方法，實際上犯了循環證明理論的錯誤。原因是余弦定理的證明來自勾股定理。
人們對勾股定理感興趣的原因是它可以推廣。
歐幾裏德在《幾何原本》中給出了勾股定理的壹個推廣定理:“直角三角形斜邊上的壹條直邊，其面積為兩個直角上兩條相似直邊的面積之和”。
由上述定理，我們可以推導出如下定理:“若以直角三角形的三條邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑的圓的面積等於以兩條直角邊為直徑的兩個圓的面積之和”。
勾股定理還可以推廣到空間:如果用直角三角形的三條邊作為相應的邊來制作相似的多面體，則多面體在斜邊上的表面積等於兩個多面體在直角邊上的表面積之和。
如果將直角三角形的三條邊用作球，則球在斜邊上的表面積等於在兩條直角邊上制作的兩個球的表面積之和。
諸如此類。
附錄
首先，簡要介紹《周篇·姬靜》
《周快Suan經》是十大計算書之壹。成書於公元前2世紀，原名《周燮》，是中國最古老的天文著作，主要闡述了當時的遮天理論和四分之壹歷法。唐初，它被規定為國子監舒鳴教材之壹，故改名為《周快舒靜》。《周髀算經》在數學上的主要成就是引入了勾股定理及其在測量中的應用。原書沒有證明勾股定理，但吳棟人趙爽在《周傳·勾股方註》中給出了證明。
《周筆suan經》采用了相當復雜的分數算法和開平方法。
二、加菲爾德證明勾股定理的故事
1876壹個周末的傍晚，在華盛頓特區的郊區，壹位中年男子正在散步，享受著傍晚的美景。他當時是俄亥俄州* * *和黨員加菲爾德。走著走著，他突然發現附近的小石凳上有兩個孩子正全神貫註地談論著什麽，大聲爭吵著，低聲討論著什麽。在好奇心的驅使下，加菲貓循著聲音找到了兩個孩子，試圖弄清楚兩個孩子在幹什麽。我看見壹個小男孩俯下身，用樹枝在地上畫了壹個直角三角形。所以加菲爾德問他們在做什麽。小男孩頭也不擡地說:“請問先生，如果直角三角形的兩個直角分別是3和4，那麽斜邊的長度是多少？”加菲爾德回答說:“是五個。”小男孩又問:“如果兩個直角邊分別是5和7，那麽這個直角三角形的斜邊長是多少？”加菲爾德不假思索地回答:“斜邊的平方必須等於5的平方加上7的平方。”小男孩又說:“先生，妳能說實話嗎？”加菲爾德壹時說不出話來，無法解釋，他很不高興。
所以加菲爾德停下來，立即回家討論小男孩給他的問題。經過反復思考和計算，他終於弄清了真相，並給出了簡明的證明方法。
以下是美國第二十任總統加菲爾德對勾股定理的證明。
如圖所示，
s梯形ABCD =（a+b）2
=（a2+2ab+B2），①
和S梯形ABCD=S△AED+S△EBC+S△CED。
= ab+ ba+ c2
=（2ab+C2）。②
比較以上兩個公式，我們可以得到
a2+b2=c2。
這個證明相當簡潔，因為它使用了梯形面積公式和三角形面積公式。
4月1876日，加菲爾德在《新英格蘭教育雜誌》上發表了他對勾股定理的證明。五年後，加菲爾德成為美國第二十任總統。後來，為了紀念他對勾股定理直觀、簡單、易懂、清晰的證明，人們把這個證明稱為勾股定理的“總統式”證明，傳為數學史上的壹段佳話。
研究相似三角形後，我們知道在直角三角形中，斜邊上的高度將直角三角形分成兩個與原三角形相似的直角三角形。
如圖所示，在Rt△ABC中，∠ ACB = 90。使CD⊥BC，而立足則是婷法則
△BCD∽△BAC，△CAD∽△BAC。
從△BCD∽△BAC可以得到BC2=BD？BA，①
AC2=AD可以從△CAD∽△BAC得到？AB。②
我們發現把①和②相加，我們可以得到。
BC2+AC2=AB，
並且AD+BD=AB，
所以有BC2+AC2=AB2，也就是
a2+b2=c2。
這也是證明勾股定理的壹種方法，也很簡潔。它利用了相似三角形的知識。
在勾股定理的眾多證明中，人們也犯了壹些錯誤。如果有人給出以下證明勾股定理的方法:
根據余弦定理，設△ABC，∠c = 90°
c2=a2+b2-2abcosC，
因為∠c = 90°，所以CosC=0。因此
a2+b2=c2。
這種看似正確簡單的證明方法，實際上犯了循環證明理論的錯誤。原因是余弦定理的證明來自勾股定理。
人們對勾股定理感興趣的原因是它可以推廣。
歐幾裏德在《幾何原本》中給出了勾股定理的壹個推廣定理:“直角三角形斜邊上的壹條直邊，其面積為兩個直角上兩條相似直邊的面積之和”。
由上述定理，我們可以推導出如下定理:“若以直角三角形的三條邊為直徑作圓，則以斜邊為直徑的圓的面積等於以兩條直角邊為直徑的兩個圓的面積之和”。
勾股定理還可以推廣到空間:如果用直角三角形的三條邊作為相應的邊來制作相似的多面體，則多面體在斜邊上的表面積等於兩個多面體在直角邊上的表面積之和。
如果將直角三角形的三條邊用作球，則球在斜邊上的表面積等於在兩條直角邊上制作的兩個球的表面積之和。
諸如此類。