뉴턴 시대의 모든 수학 중에서 뉴턴의 일은 반이 넘었다. 실제로 뉴턴은 천문학과 물리학에서 큰 성과를 거두었습니다. 수학적으로 이항식 정리에서 미적분에 이르기까지 대수와 수론에서 고전 기하학 및 분석 기하학, 유한 차이, 곡선 분류, 계산 방법 및 근사론, 심지어 확률론까지 창조적 성취와 기여를 했습니다.

이항식 정리를 발견하다

1665 년, 겨우 22 세의 뉴턴이 이항식 정리를 발견했는데, 이것은 미적분학의 전면적인 발전에 없어서는 안 될 단계이다. 이항식 정리는 에너지가 직접 계산을 통해 발견된다고 생각한다.

이항식 급수 전개는 급수 이론, 함수 이론, 수학 분석 및 방정식 이론을 연구하는 강력한 도구이다. 오늘 우리는 n 이 양의 정수인 경우에만 n 이 1, 2,3 의 양의 정수일 때 n+ 1 에서 끝나는 것을 발견할 수 있습니다. N 이 양의 정수가 아니면 수열이 끝나지 않으므로 이 방법은 적용되지 않습니다. 하지만 라이프니츠는 1694 년에야 함수라는 단어를 도입했다는 것을 알아야 한다. 미적분학의 초기 단계에서는 초월 함수의 계층으로 초월 함수를 대하는 것이 가장 효과적인 방법이다.

미적분을 만들다

뉴턴이 수학에서 가장 뛰어난 업적은 미적분을 창설한 것이다. 그의 두드러진 업적은 고대 그리스 이래 무궁무진한 문제를 해결하기 위한 각종 특수한 기교를 두 가지 통용 알고리즘인 미분과 적분으로 통일하고 이 두 가지 연산 사이의 상호 역관계를 세우는 것이다. 예를 들어 면적 계산은 접선을 구하는 역과정으로 볼 수 있다.

당시 라이프니츠는 방금 미적분 연구 보고서를 제출했고, 미적분학 발명 특허권에 대한 논란을 불러일으켰고, 라이프니츠가 사망할 때까지 멈추지 않았다. 후세는 이미 차이가 그들이 동시에 발명한 것이라고 인정했다.

미적분학의 방법에서 뉴턴의 매우 중요한 공헌은 그가 분명히 보았을 뿐만 아니라 대수학이 제공하는 방법론을 최대한 활용함으로써 기하학보다 훨씬 우월하다는 것이다. 그는 카발레리, 그레고리, 호이겐스, 바로의 기하학 방법 대신 대수학 방법으로 적분의 대수화를 완성했다. 이후 수학은 감각의 학과에서 사고의 학과로 점차 옮겨갔다.

마이크로제품 생성 초기에는 탄탄한 이론적 기반이 확립되지 않아 다른 속셈을 가진 사람들이 이용했다. 이로 인해 유명한 제 2 차 수학 위기가 발생했다. 이 문제는 19 세기 극한 이론이 수립될 때까지 해결되지 않았다.

극좌표 개발 3 차 곡선 이론 도입

뉴턴은 분석 기하학에 깊은 공헌을 했다. 그는 극좌표의 창시자이다. 첫 번째는 고차 평면 곡선을 광범위하게 연구했다. 뉴턴은 일반적인 3 차 방정식을

3 차 곡선' 이라는 책에서 뉴턴은 3 차 곡선 78 가지 가능한 형태 중 72 가지를 열거했다. 이것들은 가장 매력적인 것들입니다. 가장 어려운 것은 모든 곡선이 원의 중심으로 투영될 수 있는 것처럼 모든 3 차원 곡선을 곡선으로 사용할 수 있습니다.

투영의 중심. 이 정리는 1973 이 증명될 때까지 수수께끼였다.

뉴턴의 3 차원 곡선은 더 높은 평면 선을 연구하기 위한 기초를 마련하고 점근선, 노드 및 점의 중요성을 설명합니다. 3 차원 곡선에서의 뉴턴의 작업은 더 높은 평면 곡선에 대한 다른 많은 연구 작업에 영감을 주었다.

고급 방정식 이론, 열린 변분법

뉴턴은 대수학에도 고전적인 공헌을 했고, 그의 넓은 의미의 산수는 방정식 이론을 크게 촉진시켰다. 그는 실제 다항식의 가상 뿌리가 쌍으로 나타나야 한다는 것을 발견하고 다항식 루트의 상한 법칙을 발견했다. 그는 다항식의 계수로 다항식의 뿌리와 공식을 표현하고, 실제 다항식의 허근 수를 제한하는 데카르트 기호 법칙의 보급을 제공했다.

뉴턴은 또한 숫자 방정식과 방정식의 실근의 근사치를 뛰어넘는 대수를 구하는 방법도 설계했다. 이 방법의 수정은 이제 뉴턴법이라고 불린다.

뉴턴은 역학 분야에서도 중대한 발견을 했는데, 역학은 물체의 움직임을 설명하는 과학이다. 첫 번째 운동 법칙은 갈릴레오가 발견한 것이다. 이 법칙은 물체가 정지 또는 균일 직선 운동에 있는 경우 외부 힘이 없는 한 정지 상태를 유지하거나 일정한 속도의 직선 운동을 계속한다는 것을 보여 줍니다. 관성의 법칙이라고도 하는 이 법칙은 힘의 한 가지 성질을 설명합니다. 즉, 힘은 한 물체를 정지에서 운동으로, 운동에서 정지로, 한 물체를 한 운동 형식에서 다른 운동 형식으로 바꿀 수 있습니다. 이것이 바로 뉴턴의 제 1 법칙이다. 역학에서 가장 중요한 문제는 물체가 비슷한 상황에서 어떻게 움직이는가이다. 뉴턴의 두 번째 법칙은 이 문제를 해결했다. 이 법칙은 고전 물리학에서 가장 중요한 기본 법칙으로 여겨진다. 뉴턴의 두 번째 법칙은 힘이 물체를 바꿀 수 있는 움직임을 정량적으로 묘사한다. 속도를 나타내는 시간 변화율 (즉, 가속도 a 는 힘 f 에 비례하지만 물체의 질량에 반비례합니다. 즉, a=F/m 또는 F = Ma 힘이 클수록 가속도가 커집니다. 질량이 클수록 가속도가 작아집니다. 힘과 가속도는 모두 크기와 방향이 있다. 가속은 힘에 의해 발생하며, 방향은 힘과 같습니다. 만약 몇 개의 힘이 하나의 물체에 작용한다면, 합력은 가속도를 생성할 것이다. 두 번째 법칙은 가장 중요하며, 모든 힘의 기본 방정식은 미적분학을 통해 파생될 수 있다.

게다가, 뉴턴은 이 두 법칙에 근거하여 제 3 의 법칙을 제정했다. 뉴턴의 제 3 법칙은 두 물체 사이의 상호 작용이 항상 크기가 같고 방향이 반대라고 지적했다. 직접 접촉하는 두 물체에게 이 법칙은 이해하기 쉽다. 책이 탁자에 대한 하향 압력은 책상이 책에 대한 상향 지지와 같다. 즉, 작용력은 반작용력과 같다. 중력도 마찬가지다. 비행 중인 비행기가 지구를 끌어당기는 힘은 수치적으로 지구가 비행기를 내리는 힘과 같다. 뉴턴의 운동 법칙은 과학과 역학에서 광범위하게 사용된다.

초등 평면 기하학

공리

1 두 개의 다른 점이 이들을 통과하는 선을 결정합니다.

AB 를 주어진 세그먼트로 설정하고 OX 를 알려진 광선으로 설정하면 광선 OX 에는 점 c 가 하나만 있으므로 세그먼트 OC=AB 가 됩니다.

모양과 크기를 변경하지 않고 형상을 이동할 수 있습니다.

4 평행 공리: 알려진 선 밖의 한 점을 통해 알려진 선과 평행한 선을 그릴 수 있습니다.

5 아르키메데스 공리: 주어진 선 세그먼트 AB & gtCD 로 전자를 측정할 때, 전자를 몇 번 재면 항상 전자를 초과하거나 양의 정수 N 이 있어야 (n- 1)CD≤AB≤Ncd 를 만들 수 있다.

이중 축 대칭 및 중심 대칭

1 의 축 대칭: 직선을 따라 접으면 선의 양쪽 부분이 정확히 일치합니다. 이 직선을 대칭축이라고 하고, 서로 일치할 수 있는 점을 대칭점이라고 합니다. 이것이 그래프라면 축 대칭 그래프라고 합니다. (예: 이등변 삼각형)

특성: 대칭 점의 수직선은 대칭 축입니다.

2 중심 대칭: 두 모양이 한 중심을 기준으로180 회전하여 서로 겹칠 수 있습니다. 이 점을 대칭 중심이라고 하며 겹칠 수 있는 점을 대칭 점이라고 합니다. 이것이 그래프인 경우 중심 대칭 그래프라고 합니다. (예: 평행사변형)

특성: 대칭 점의 중간점은 대칭의 중심입니다.

세 가지 기본 개념

중간 수직선의 이등분선과 1 세그먼트의 각도

(1) 에 있는 수직선의 특성:

1 에 있는 수직선의 모든 점은 선 세그먼트의 양쪽 끝과 같은 거리입니다.

2 선 세그먼트의 양쪽 끝에서 간격이 같은 모든 점은 가운데 수직선에 있습니다.

(2) 각도 이등분선의 특성:

1각도 이등분선 위의 모든 점은 같은 각도의 양쪽에서 등거리이다.

2 한 각도의 양쪽에서 등거리인 모든 점은 각도의 이등분선에 있습니다.

2 시야각

(1) 세그먼트의 시야각: 한 점에서 두 개의 광선이 알려진 세그먼트의 양쪽 끝을 통과할 때 두 광선에 의해 형성된 각도를 알려진 세그먼트에 대한 점의 시야각이라고 합니다.

(2) 점 대 원 원근: 원 외부의 한 점에서 그려진 두 접선 (광선으로 간주) 으로, 두 접선 사이의 각도를 점 대 원 원근이라고 합니다.

전등삼각형 세 개

1 판정정리: s.a.s.a.a.a.s.s.a (큰 모서리)

S.s.a: 두 개의 삼각형이 모두 같아야 합니다. 두 가장자리가 큰 가장자리의 대각선과 같으면.

증명서: A/Sina = A 1/Sina 1, b/sinb = b1∩ (0/sinb

최대 (b, b 1) ≥ 90, b, b 1 과 작은 모순이므로 B=B 1 입니다.

참고: 작은 모서리는 유효하지 않습니다.

2 전등직각 삼각형:

(1) 직각 모서리, 직각 모서리

(2) 직각 베벨

(3) 직각 가장자리, 인접 각도 또는 상대 예각

(4) 예각 사변

평행선 네 개

1 의 존재 정리: 한 평면에서 알려진 선에 수직인 두 선이 서로 평행합니다.

2 판정정리: 알려진 두 선은 세 번째 선에 의해 잘렸다. 다음 조건 중 하나가 참이면 알려진 두 선이 서로 평행합니다.

1 이등변 각도가 같습니다.

2 내부 전위 각도가 같습니다.

3 동측 내각과 보완한다.

3 성질정리: 만약 두 직선이 세 번째 직선에 의해 절단된다면, 그것은 형성된다.

1 이등변 각도가 같습니다.

2 내부 전위 각도가 같습니다.

3 동측 내각과 보완한다.

추정: (1) 두 선이 두 평행선 중 하나에 수직하면 다른 선에 수직이 됩니다.

(2) 교차선의 수직선도 교차한다.

4 평행 절단 정리:

(1) 두 선은 한 세트의 평행 와이어 커팅에 의해 절단됩니다. 한 선에서 절단된 세그먼트가 동일하면 다른 선에서 절단된 세그먼트도 같습니다.

두 선이 단면 선 세트에 의해 동일한 세그먼트로 절단되고 그 중 두 선이 평행할 경우 모든 단면 선이 서로 평행합니다. (주의 1 의 역정리가 아닙니다)

(2) 각도 평행 절단 정리: 한 각도의 양쪽이 평행으로 절단됩니다. 한 면에서 절단된 세그먼트가 동일하면 다른 면에서 절단된 세그먼트도 같습니다.

각도 평행 절단 정리 역정리: 한 각도의 두 모서리가 한 세트의 절단에 의해 같은 세그먼트로 절단되면 모든 절단선이 서로 평행합니다.

(3) 비율에 대한 평행 절단 정리:

1 두 선은 세 번째 면에 평행한 직선으로 절단되며 절단된 세그먼트는 비례해야 합니다.

2 두 선이 한 세트의 절단선에 의해 비례적으로 잘리고 그 중 두 선이 평행할 경우 모든 절단선은 서로 평행합니다.

3 삼각형의 두 모서리는 평행 와이어 EDM 세트에 의해 절단되며 절단된 세그먼트는 비례해야 합니다.

4 역정리: 삼각형의 두 모서리가 직선으로 절단된 세그먼트에 비례하면 이 선은 세 번째 모서리와 평행합니다.

(4) 중심선 정리

1 의 삼각형 중 하나의 중심선은 세 번째 모서리와 평행하며 이 모서리의 절반과 같습니다.

2 사다리꼴의 중앙선은 하단에 평행하며 두 밑면의 합계의 절반과 같습니다.

다섯 개의 그래픽

(1) 삼각형

1 외부 각도 정리: 삼각형의 각 외부 모서리가 임의의 내부 대각선보다 큽니다.

이등변 삼각형 2 개: 네 개의 선이 하나로 합쳐집니다

3 삼각형 부등식 정리:

(1) 큰 변은 큰 뿔에, 큰 뿔은 큰 쪽에.

(2) 삼각형에서 어떤 모서리도 다른 두 모서리의 합계보다 작으며 그 차이보다 큽니다.

추론: 임의의 세 점 A, B, C 에 대해서는 항상 A B-AC √ BC ≤ A B+AC 가 있다.

(3) 두 개의 삼각형에 두 개의 동일한 모서리가 있는 경우

1 각도가 크고 맞은편이 크다.

2 세 번째 측면은 더 크고 대각선은 더 큽니다.

4 ~ 5 개의 마음

(1) 외부 중심: 3 면 수직선의 교차점도 외부 원의 중심입니다.

(2) 무게 중심: 3 면 중심선의 교차점.

(3) 수직 중심: 세 개의 높은 선의 교차점 (세 개의 정점이 수직 중심 그룹을 형성함)

(4) 마음: 세 개의 내각 이등분선의 교차점도 내접원의 중심이다.

(5) Paracenter: 한 내부 구석과 다른 두 내부 구석의 한 외부 구석의 세 이등분선의 교차점에는 세 점이 있으며 접선 원의 중심이기도 합니다.

내부 및 외부 각도 이등분선 정리: 삼각형과 해당 외부 각도의 이등분선이 가장자리와 연장선을 교차하도록 설정하면 교차점은 각각 내부 및 외부 가장자리로 나뉘며 점수 비율은 두 인접 변의 비율과 같습니다. (역정리가 존재함)

6 정삼각형: PA≤PB+PC, P 가 외접원에서 A 점과 반대되는 호 BC 에 있을 때 등호를 사용합니다.

(2) 평행 사변형

1 정의: 서로 평행한 두 쌍의 사변형.

2 속성 정리:

1 두 쌍의 반대쪽이 같다.

2 쌍의 대각선이 같다.

세 대각선을 똑같이 나누다.

3 판정정리: 다음 조건 중 하나를 가진 사변형은 평행사변형이어야 합니다.

1 두 쌍의 반대쪽이 같다.

2 쌍의 대각선이 같다.

세 대각선을 똑같이 나누다.

4 쌍의 반대쪽이 평행하고 같다.

4 직사각형: 등각 평행 사변형 (두 대각선이 같고 반대쪽 중간점을 연결하는 선이 대칭 축임)

다이아몬드: 등변 평행 사변형 (두 대각선 이등분, 대각선 대칭)

정사각형: 직사각형과 마름모꼴의 사변형 (대칭 축 4 개) 입니다.

③ 사다리꼴

1 정의: 반대쪽 가장자리에 평행한 사변형 쌍이 있습니다.

2 이등변 사다리꼴: 두 허리가 같고, 두 밑면이 같고, 대각선이 같고, 두 밑면의 중간점이 대칭축으로 연결되어 있습니다.

(4) 다각형

1 내부 각도의 합계: (n-2) * 180, 외부 각도의 합계: 360.

정다각형: 가장자리와 모서리가 같은 다각형입니다.

(5) 원

1 대칭: 중심을 기준으로 대칭 중심, 임의의 지름을 대칭 축으로 사용합니다.

2 부등식정리: 호, 현, 중심 각도, 현 거리 l = r θ = (n 180) * 2π r.

3 탄젠트 정리

(1) 원의 접선은 접점의 반지름에 수직입니다.

(2) 원 반지름의 바깥쪽 끝을 통과하고 해당 반지름에 수직인 선은 원의 접선이다.

(3) 원 외점에서 그린 두 접선의 길이는 같고, 그 점에서 중심점으로 그린 광선은 그 점에서 원의 시각까지 이등분한다.

(4) 공접선정리: 두 원의 두 개의 외접선은 길이가 같고, 두 개의 내공접선도 길이가 같다.

(5) 두 원의 접선 정리:

1 두 원에 접하는 접점은 연결에 있고, 반대로 두 원 연결의 같은 점은 접해야 합니다.

2 의 외접원에 대한 충전 조건은 OO'= R+R'+R' 이고 내접원에 대한 충전 조건은 oo' = ∞ r-r' √.

4 원주각: 정점이 원 위에 있고 양쪽이 원과 교차하는 각도입니다.

(원에서 같은 호가 마주보고 있는 원주각은 마주 보고 있는 중심각의 절반과 같다.)

현 각도: 한 면은 원과 교차하고 다른 한 면은 정점에 접하는 각도입니다.

(원의 탄젠트 각도는 원에 포함된 호의 원주각과 같습니다.)

원 내부 각도: 원 내 정점의 각도입니다.

(원의 내부 각도는 자신이 대응되는 원주각과 상단 각도에 포함된 호의 합계와 같습니다.)

원의 외부 모서리: 정점이 원 외부에 있고 양쪽에서 원과 공통 점이 있는 각도입니다.

(원의 외부 각도는 원에 포함된 두 호의 원주 각도 차이와 같습니다.)

요약: 1 동일 호: 원의 내부 각도 >; 원주 각도 = 현 모따기 > 원의 바깥쪽 각도

2 각도와 원의 양쪽에 공통 점이 있고 원의 각도와 같으면 이 각도의 정점이 원 위에 있어야 합니다.

5 원 내접사변형: 대각선 보완. (역정리가 존재함)

원형 외접 사변형: 가장자리와 동일. (역정리가 존재함)

6 원 전력 정리: 주어진 원 o, 시컨트가 점 p 를 통해 a 와 b 를 통과하면

P = p a * Pb = ∞ PO2-R2 √, p'= PO2-R2, p' 를 설정하는 이 값을 점 p 대 원 o 의 거듭제곱이라고 합니다

7 4 * * * 원 판단:

(1) 대각선 보완 사변형

(2) 두 점은 같은 시각으로 한 선 세그먼트를 가리키고 있다

(3) 전력 정리: PA*PB=PC*PD.

6 개의 비슷한 삼각형

1 기본 정리: 삼각형의 한 면에 평행하고 다른 양쪽과 교차하는 직선에서 잘려진 삼각형은 원래 삼각형과 유사합니다.

2 판정정리: 두 삼각형이 다음 조건 중 하나를 충족하면 비슷해야 합니다.

(1) 두 쌍의 해당 각도가 같음 (평균)

(2) 해당 각도 쌍이 동일하고 해당 모서리가 비례합니다.

(3) 해당 가장자리 세 쌍의 비례 (s.s.s)

(4) 두 쌍의 해당 모서리가 비례하고 주 모서리의 대각선이 같습니다 (S.s.a)

3 유사 삼각형의 해당 세그먼트 쌍 (예: 해당 높이, 중심선, 각도 이등분선) 의 비율은 유사 비율과 같습니다.

7 개 분야

S (평행사변형) =ah=absinα

S (직사각형) =ab

S (디amond) = ah = ABS in α = (1/2) l1L2.

S (square) =a2= (1/2)l2

S (삼각형) = (1/2) ah = (1/2) absinc. 。

S (원) =πR2

S (섹터) = (n/360) π R2 = (1/2) θ r 2.

S (bow) = (1/2) R2 (α π/180-sin α)

벨리시날 공식: s (사변형) = (1/4) [4e2f2-(a2-B2+C2-D2) 2]1/2

Brahmagudda 공식: s (원에 내접한 사변형) = [(s-a) (s-b) (s-c) (s-d)]1/2/

헬렌 공식: s (삼각형) = [s(s-a)(s-b)(s-c)] 1/2.

8 개의 기본 트랙:

알려진 두 점에서 등거리인 1 의 궤적은 두 점 사이에 연결된 중간 수직선입니다.

알려진 각도 내에서, 양쪽의 등거리 점의 궤적은 바로 이 각도의 이등분선이다.

알려진 두 선에 평행한 등거리인 점의 궤적은 알려진 두 선에 평행하고 등거리인 직선입니다.

알려진 선까지의 거리가 고정 길이인 점에 대한 궤적은 알려진 선의 양쪽에 있고 알려진 선에 평행한 한 쌍의 선입니다. 여기서 알려진 각 선까지의 거리는 고정 길이와 같습니다.

5 점에서 점까지의 거리는 고정 길이 점과 같은 궤적으로, 점을 중심으로 반지름이 있는 원입니다.

세그먼트의 경우 뷰 각도가 고정 각도와 같은 점의 궤적은 고정 세그먼트를 현으로 하는 이중 호입니다.

7 세그먼트의 경우 시야각이 직각인 점의 궤적은 고정 세그먼트를 지름으로 하는 원입니다.

9 가지 특수 개념

1 오일러 선: 삼각형의 외부 중심, 무게 중심 및 수직 중심에 있는 선입니다.

(질량 중심에서 한 면까지의 거리는 반대쪽 정점에서 수직 중심 거리의 절반과 같습니다.)

뉴턴 선: 완전한 사변형의 세 대각선 중간점.

3mick 점: 완전히 사변형인 가장자리가 네 개의 삼각형으로 교차하며, 외접원은 * * * 점입니다.

4 시모어 소나무 선:

(1) 삼각형의 세 변에 있는 점 또는 그 연장선의 직교 선에 대한 충분한 조건은 점이 삼각형의 외접원에 있다는 것입니다. 직교 투영이 있는 선을 한 점에서 삼각형의 심슨선이라고 합니다.

(2) 사면이 완전히 사변형인 믹점의 직교 선. 이 선은 완전히 사변형인 심슨선이라고 합니다.

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