盜竊儲戶存款的銀行應該承擔責任。根據法律規定，商業銀行應當保護存款人的合法權益不受任何單位和個人的侵害。

因此，確保存款人銀行卡中的資金安全是銀行的責任。如果儲戶的銀行卡被盜刷，銀行顯然沒有盡到義務，應該承擔責任。

法律依據

《商業銀行法》第二十九條規定，商業銀行應當遵循存款自願、取款自由、存款有息、為存款人保密的原則。

商業銀行有權拒絕任何單位或者個人查詢、凍結、扣劃個人儲蓄存款，法律另有規定的除外。