이 섹션의 주요 내용은 유사한 삼각형의 특성이며 이 장의 주요 내용 중 하나입니다. 유사 삼각형의 판정을 연구하는 기초 위에서 삼각형의 성질을 더 연구하여 유사 삼각형의 정의, 판정 및 성질에 대한 전면적인 연구를 완성하였다.
1. 유사 삼각형의 특성
(1) 개의 유사 삼각형에 해당하는 각도는 동일하며 해당 비율은 비례합니다.
(2) 높이에 대한 유사 삼각형의 비율, 중심선에 대한 비율 및 각도 이등분선에 대한 비율은 모두 유사 비율과 같습니다.
(3) 유사 삼각형의 둘레 비율은 유사 비율과 같습니다.
위의 항목은 유사 삼각형에서 해당 세그먼트의 비율이 유사 비율과 같다고 요약할 수 있습니다.
(4) 유사 삼각형 면적의 비율은 유사 삼각형 유사 비율의 제곱과 같다.
2. 유사한 삼각형 특성의 적용.
(1) 세그먼트가 비례 (또는 등각 세그먼트) 이고 각도가 같음을 증명하는 데 사용할 수 있습니다.
(2) 유사한 삼각형의 알려진 요소 중 일부에서 알 수 없는 요소 (모서리, 높음, 모서리 이등분선, 중심선, 각도) 를 찾습니다.
(3) 둘레, 면적 등을 계산하는 데 사용됩니다.
(4) 세그먼트의 등분 (또는 면적 비율) 을 증명하는 데 사용됩니다.
중점 난점 분석
예 1 그림 5.5- 1 에 나와 있습니다. 알려진 △ aBC ∯ △ a' b'c', 점 d 와 d' 는 BC 와 b' c' 의 중점이고, AE ⊡ BC 는 e, a' e' ⊡ b' c' 는 e 에 있다
분석 요구 사항 △ADE 는 직각 삼각형인 △a'd'e' 와 유사합니다. 직각 삼각형의 유사 정리를 판단하는 것은 경사변과 직각 삼각형의 비례만 증명하면 된다. 경사변과 직각 삼각형은 각각 △ABC 와 △a'b'c' 의 중앙선과 높이 (즉, 두 개의 유사 삼각형에 해당하는 선 세그먼트) 이다.
입증: △ ABC ∯ △ a' b' c' ad 와 a'd' 는 각각 중앙선이고 AE 와 a'e' 는 각각 높다.
∯ = = ∯ rt △ ade ∯ rt △ a' d' e'
예 2 는 그림 5.5-2 와 같습니다. △ABC, EF‖BC, ef = BC = 2cm, △AEF 의 둘레는 10cm 입니다. 사다리꼴 BCFE 의 둘레를 구하다.
분석에서 EF= BC 에서 = 유사 비율, 유사 삼각형 특성으로부터 △ABC 의 둘레를 얻을 수 있습니다. 두 둘레의 차이와 EF 의 길이를 더하면 사다리꼴 BCFE 의 둘레입니다.
해결책: ef = 기원전 ≈ =
기원전 ∯ △ AEF ∯ △ ABC
∮ = =
∮ =
∯ △ ABC 둘레 = 15 (센티미터)
사다리꼴 BCFE 의 둘레 = △ ABC 둘레 -△AEF 둘레 +2EF
= 15- 10+4=9 (센티미터)
예 3 은 그림 5.5-3 과 같습니다. △ABC, DE‖BC, s △ ade: s △ ABC = 4: 9 에서 ① AE: EC; ② s △ ade: s △ CDE 를 구하십시오.
이 문서에서는 유사한 삼각형의 특성, 결합된 비율 및 삼각형 영역의 계산 공식을 분석합니다. 비율은 = 에서 얻은 다음 비율 관련 특성에서 AE: EC, △ADE 및 △CDE 의 높이를 얻고, AE: EC 는 삼각형 영역 계산 공식에서 얻습니다.
해결책: ① 브리티시 주 △ ade ∯ ABC
∮ = ∮ =
∮ = =
즉 =
② CD 연결, d 를 DH ⊡ AC 로 교차, AC 를 h 로 교차
= = = =
예 4 그림 5.5-4 에서 알 수 있듯이 M 은 □ABCD 의 AB 변의 중점이고 CM 은 E 점에서 BD 와 교차하는 것으로 알려져 있습니다. 그림에서 그림자 영역과 평행사변형 ABCD 의 비율은 얼마입니까?
이것은 유사한 삼각형의 성질, 면적 계산, 등적정리 등을 조사하는 종합 시험문제이다. Dn ⊡ ab 를 n 에, e 를 f 에, gf ⊡ ab 를 f 에 설정하십시오.
∵ m 은 AB 의 중점이다.
∯ s △ amd = s △ dmb = s △ Abd = s □ ABCD
∵ s △ mbd = s △ MBC (두 개의 바닥 높이가 같은 삼각형 영역이 동일함)
∯ s △ mbd-s △ MBE = s △ MBC-s △ MBE, 즉 s △ DME = s △ CBE.
∵ MB ∲ DC, ∯ BEM ∯ △ dec
= =, 따라서 =
∵ dn = gf, ∶ =
또 왔다: = =
∯ =, 즉 S△DME= S△MBD 입니다.
∮ s △ DME = × s □ ABCD = s □ ABCD
∯ s △ DME+s △ BMC = s □ ABCD+s □ ABCD = s □ ABCD
따라서 그림 5.5-4 의 그림자 영역과 평행 사변형 영역의 비율은 다음과 같습니다.
예 5 그림 5.5-5 에서는 사각형 ABCD 의 모서리 BC 를 E 까지 확장하여 CE = AC, AE 및 DC 가 F 점에서 교차하여 CE: FC 의 값을 구합니다.
이것은 비슷한 삼각형의 성질을 이용하여 문제를 푸는 능력을 시험한 시험문제이다. 정사각형의 모서리 길이 ABCD 를 a 로 설정하면 AC = A, AB = A, be =+1) a. 。
해결책: ∵ DC ∲ ab, ∯ ECF ∯ △ EBA, =, 따라서 = =+ 1, 즉 EC: fc = (+/kloc
예 6 그림 5.5-6, □ABCD 여기서 E 는 BC 위의 점이고, AE 는 F 점에서 BD 와 교차하며, BE: EC = 3:1,S △ FBE =/KLOC-로 알려져 있습니다.
주어진 조건을 분석함으로써 우리는 △ FBE ∯ △ FDA 를 쉽게 얻을 수 있다. BE: EC = 3:1에서 BE: AD = 3: 4 를 쉽게 얻을 수 있습니다. 비슷한 삼각형의 면적 비율이 비슷한 비율의 제곱과 같기 때문에 S△FDA 를 얻을 수 있습니다.
해결책: □ABCD 에서 be ‖ ad △ FBE ∯ △ FDA 를 얻습니다.
∵ be: EC = 3:1∶be: BC = 3: 4
∵ 기원전 = 기원, ∶비: 기원 = 3: 4.
≈ = () 2, 즉 = () 2 입니다.
∮ s △ FDA = = 32 입니다.
곤란을 해결하는 교묘한 방법
예 1 그림 5.5-7 에 나와 있습니다. △ABC 에서, ∯ ∠ACB = 90°, BC = 8 cm, AC = 6 cm, c 는 중심, CA 는 반지름, AD 의 길이는 얼마입니까?
본 문제 분석은 종합문인데, 조사한 지식점에는 비슷한 삼각형의 판단과 성질, 이등변 삼각형의 성질 등이 있다. AD 요청, 우리는 △CAD 링크 CD 뒤에 이등변 삼각형이 있고 이등변 삼각형의 밑단 길이가 필요하다는 것을 발견했다. 따라서 E 의 CE ⊡ AB, AE= AD 를 생각하면 AE 의 길이를 찾을 수 있다면 문제가 해결됩니다. 그래서 우리는 △ AEC 만 증명하면 된다.
해결 방법: E 조 CE ⊡ AB 를 만들고 CD 를 연결합니다.
CA = CD
∮ AE = ad, 즉 AD = 2AE 입니다.
AB = 10 은 알려진 조건과 피타고라스 정리에서 얻은 것이다.
∠∠ACB =∠AEC, a = a = a
∯ △ AEC ∯ △ ABC
∮ =
∮ ac2 = aeab, 즉 62 = AE× 10 입니다.
그래서 AE = 3.6 (센티미터)
≈ 광고 = 7.2 (cm)
예 2 는 그림 5.5-8 과 같습니다. △ABC, DE‖BC 에서 AB 에서 f 를 조금 가져와 S △ BFC = S △ Ade, 검증: Ad2 = AB BF.
증거: 기원전 ∯ △ ADC ∯ △ ABC.
∮ =
∯ s △ ade = s △ bfc: =
그리고 = =
= = BF, 즉 Ad2 = AB BF 입니다.
포옹: 이 문제를 해결하는 열쇠는 유사한 삼각형의 특성과 삼각형의 면적 계산 공식을 이용하여 축척 공식 또는 곱 공식을 찾는 것이다.
예 3 은 그림 5.5-9 와 같습니다. 직사각형 FGHN 내부 △ABC, f 와 g 는 BC, n 과 h 는 각각 AB 와 AC, ad ⊡ BC 는 d, NH 는 e, AD = 8 cm, BC = 24 cm, nf: NH =/; 이 직사각형의 면적을 구하다.
해결책: ∯ △ Anh ∯ △ ABC 브리티시컬럼비아 주
AE 와 AB 는 각각 △ANH 와 △ABC 의 높이입니다.
∮ =
Nf = x 로 설정하면 NH = 2x 입니다.
AE=AD-ED=8-x
∮ =
솔루션: x = 4.8
∮ ∴2X=9.6
∮ s 데카르트 좌표 ABCD = NH NH = 9.6× 4.8 = 46.08 (cm) 2
포인팅: 유사한 삼각형의 특성을 사용하여 비례 공식을 얻은 다음 수량 변환을 통해 비례 공식의 몇 가지 미지수를 미지수로 변환하고 대수적인 방법으로 일부 계산 문제를 해결합니다. 문제를 해결하는 중요한 방법이다.
교과서 문제 해결
예 1 그림 5.5- 10 에 나와 있습니다. 직사각형 ABCD 에서 AB=a, BC = B, m 은 BC 의 중점이고 de ⊡ am 과 e 는 수직입니다. 검증: DE=. (P248B.2).
분석에 따르면 △ aDE ∯ mab 에서 얻을 수 있는 ad: am = de: ab, de 는 a 와 b 와 관련이 있다.
증명: 직각 ABCD 에 따르면, b = 90 ad ‴ BC.
∮ DAE = ∮ AMB
∰ de ⊡ am ∰dea = ∰b = 90
∯ ade ∯ mab: =
Ad = a, ab = b, m 은 BC 의 중간점입니다.
≈ am = = =
≈ de = =
명제 추세 분석
이 부분 중간고사는 유사 삼각형의 판정, 성질 정리 등 기하학적 지식을 종합해 계산하고 증명하는 데 중점을 두고 있는데, 일반적으로 비례선, 등적선 세그먼트를 증명하고 삼각형의 변길이와 면적을 구하는 것이다.
일반적인 핫스팟 문제
예 1 그림 5.5- 1 1, □ABCD 에서 AE: EB =1:2,
A.12 cm2 b.24 cm2 c.54 cm2 D.15 cm2
분석은 위의 예와 비슷하지만 몇 가지 변화가 있다. Ae: EB =1:2, AE: ab =1:3 에 의해.
해결책: □ ab = CD, ab = CD, ≈ AE: CD =1:3.
∵ AE ∲ CD, ∯ AEF ∯ △ CDF
∮ = () 2,
즉 = () 2 입니다
∯ s △ CDF = 54 (cm) 2, 그래서 C. 。
예 2 그림 5.5- 12, △ABC, AB = 7, AD = 4, ACD = B 에서 AC 값을 구합니다.
본 문제를 분석하여 비슷한 삼각형의 기본 성질을 적용하는 능력을 고찰하다.
해결책: a 는 각도 ACD = b 입니다.
∯ △ ACD ∯ ABC ∯ =,
Ac2 = ad ab 입니다.
∮ AC =
=
= 2 (루트 빼기).
예 3 그림 5.5- 13, △ABC, DE‖BC, S △ Ade: S 사변형 BCED =1:2, BC = DE 의 길이를 구하다.
본 문제를 분석하고 유사 삼각형의 성질을 적용하여 실제 계산 문제를 해결할 수 있는 능력을 고찰하다.
∵ de ∲ BC, ∯ ade △ ABC.
DE 의 길이가 필요합니다. BC 의 길이는 알려져 있기 때문에 비슷한 비율의 값만 필요합니다. S △ ade: s 사변형 bced =1:2 에서 알 수 있듯이 s △ ade: s △ ABC =1:3. 유사 삼각형의 면적 비율과 유사 비율 사이의 관계를 비교하면 발견하기 어렵지 않다. 문제 해결 생각이 원활하다.
해결책: ∵ s △ ade: s 사변형 bced =1:2.
∵ s △ ade: s △ ABC =1:3
그리고 기원전 \de \u 년,
∯ △ ade ∯ △ ABC. ∯ de: BC =1:
∵ 기원전 = 2 ∶de = = 2
예 4 그림 4.4- 14 에서 볼 수 있듯이 △ABC 의 정점 C 는 각각 AB 모서리와 중앙선 AD 와 F 점과 E 점에서 교차하는 직선이고 교차 D 는 DM‖FC 와 AB 가 M 점에서 교차하는 직선입니다.
(1) s △ AEF: s 사변형 mdef = 2: 3 인 경우 AE: ed;
(2) 검증: AE FB = 2af ed.
분석 (1) 포괄적인 능력 테스트입니다. 테스트에 평행 조건이 있으면 비슷한 삼각형이 발견됩니다. 테스트에 제공된 면적 비율은 유사한 삼각형으로 변환할 수 있는 면적 비율입니다. 면적비가 있으면 비슷한 비율을 얻을 수 있고, 다시 변환하면 풀 수 있다 (1). (2) 증명 등적공식은 등비 공식으로 변환할 수 있지만 실제로는 평행선이다.
해결책: (1) ∵ s △ AEF: s 사변형 mdef = 2: 3.
∯ s △ AEF: s △ ADM = 2: 5
∵ DM ∯ cf △ AEF ∯ △ ADM
∮ =
= = = =
그래서 AE: ed = (+2): 3 입니다.
(2) 증명: ∵dm ∲ cf ∲ =
∮ =
∵ D 는 BC 의 중간점 ∰M 은 FB 의 중간점, 즉 2fm = FB 입니다.
≈ =, 즉 AE FB = 2af ed 입니다.
이번 주 연습 강화:
아웃라인 동기화 연습
첫째, 빈칸을 메우다
1. 유사 삼각형의 해당 가장자리 비율이1:3 인 경우 해당 영역 비율은 입니다.
2. 주어진 두 유사 삼각형의 유사 비율은 해당 높이의 비율이.
그림 5.5- 15 와 같이 △ABC 와 △BED 에서 = = 인 경우 △ABC 와 △BED 의 둘레 차이는 10cm 입니다
그림 5.5- 15 그림 5.5- 16
4. 두 유사 삼각형의 유사 비율이 2: 3 이고 그 면적의 합계가 13cm2 인 경우, 그 면적은 각각 다음과 같습니다.
5. 그림 5.5- 16 에서 알 수 있듯이 C 는 AB 선의 한 점으로 알려져 있고, △ACM 과 △BCN 은 모두 등변 삼각형입니다. AC = 3, BC = 2 인 경우 BM 은 CN 에서 D 까지, △MCD 와 △BND 의 면적비는 입니다.
6. 두 개의 유사한 삼각형의 높이 비율이 4: 5 인 경우 영역 비율은 4: 5 입니다.
7. 비슷한 두 삼각형의 면적 비율은 1: 9 이므로 해당 종횡비는 입니다.
그림 5.5- 17 과 같이 △ABC, DE‖BC, =, s △ ABC = 8cm2 에서 s △ ade = cm2 입니다.
9. 만약 두 개의 유사 삼각형의 유사성 비율이 2: 3 이라면, 그것들의 면적 비율은.
10. 두 유사 삼각형의 해당 변의 비율이 4: 5 이고 둘레의 합계가 18cm 인 경우 두 삼각형의 둘레는 각각 cm 과 cm 입니다.
둘째, 객관식 질문
1. 그림 5.5- 18, DE‖BC, and =, △ADE 와 △ABC 의 면적 비율은 s △ ade: s △ 입니다
A.2: 5b.2: 3c.4: 9d.4: 25
그림 5.5- 19, △ ABC ∯ △ ACD, 유사성 비율이 2 인 경우 면적은 s △ BDC: s △ DAC 보다 () 입니다.
A.4:1b.3:1C.2:1D.1:/kloc.
3. 주어진 두 유사 삼각형의 둘레는 각각 8 과 6 이고, 그 면적 비율은 () 이다.
A.4: 3b.18: 9 C.2: D.
4. 두 유사 삼각형의 면적 비율이 1: 2 인 경우 둘레 비율은 () 입니다.
A. B.1:C.1:4d.4:1
5. 그림 5.5-20 과 같이 Rt△ABC 에서 ∠ACB 는 직각이고 CD ⊡ AB 는 D 에서 다음 공식이 잘못되었습니다 ().
A.ac2 = adabb.bc2 = bdba c.cd2 = addbd.ab2 = acbc
6. Rt△ABC 에서, AC=b = 90, CD ⊡ ab, 수직 발 d, BC = A, AC = b, A-B =1인 경우
A.4 B. 8 C.8 D.4
7. 다음 조건을 만족하는 두 삼각형은 모두 같아야 합니다 ()
비슷하고 해당 중앙값 비율은 1 B 입니다. 양쪽과 대각선 중 하나가 같습니다.
C. 이 세 각도는 같습니다. D. 양쪽과 세 번째 변의 높이가 같습니다.
8. ABCD 의 제곱에서 e 는 AB 의 중점이고 BF ⊡ ce 는 f 에 있다면 s △ BF⊥CE: s 의 제곱 ABCD 는 () 와 같습니다.
1:3b.1:4c.1:5d.1:8
9. 그림 5.5-2 1 과 같이 △ABC 의 높이 AD 를 3 등분으로 나누고, 각 이등분선을 밑줄과 같은 평행선으로 하여 삼각형을 3 등분한다. 이 세 부분의 면적을 각각 S 1, S2 및 S3 으로 설정하면 S 1: S2: S3 은 () 와 같습니다.
A.1:2: 3b.2: 3: 4 C.1:3: 5d.3: 5: 7
10. 그림 5.5-22 와 같이 △ABC, ∯ ∠CBA = 90°, BD ⊡ AC 가 d 에 있는 경우 다음 관계식에서 잘못된 것은 () 입니다.
A.BD2 = 기원 AC B. BD2 = 기원 DC C.AB2=AC2-BC2 D.AB2=AC BC
셋째, 질문에 답하라
1. 그림 5.5-23 과 같이1= 2, b = b = d, ab = de = 5,
(1) 검증: △ ABC ∯ ade; (2) 광고 길이를 구하다.
2. 그림 5.5-24 와 같이 Rt△ABC 의 C = 90, D 의 CD ⊡ AB 는 Cd2 = ad db 를 확인합니다.
그림 5.5-25 와 같이 □ABCD 에서 BC = 2ce, 요청: s △ cef: s □ ABCD.
4. 그림 5.5-26 과 같이 알려진 ED ⊡ AB, AC ⊡ EB, D, C 는 수직이고, G 는 DE 위의 점, AG ⊡ BG, 수직은 G.ED, AC 는 F 인증을 충족합니다.
5. 그림 5.5-27 과 같이 이등변 삼각형 AB=AC, AB = AC 에서 ad ⊡ BC 는 d 에 있고, CG ⁉ ab, BG 는 각각 e 와 f 에 있으며, BE2 = EF EG 를 증명한다
품질 최적화 교육
그림 5.5-28 에서 볼 수 있듯이 △ABC 에서 BC = 24, 높이 AD = 12, 직사각형 EFGH 의 두 정점 E 와 F 는 BC 에 있고, 나머지 두 개의 정점 G 와 H 는 각각 AC 와 AB 에 있습니다. EF: Ef 와 eh 의 길이를 구하다.
생활의 실제 응용
한 강의 양안에 평행한 단락이 있다. 강 쪽에는 5 미터마다 나무 한 그루가 있고, 강 쪽에는 50 미터마다 전봇대가 하나 있다. 해안에서 25 미터 떨어진 강 건너편을 보면 맞은편 해안에 인접한 전봇대 두 개가 마침 이쪽의 두 나무에 가려져 있고 중간에 나무 세 그루가 떨어져 있는 것을 볼 수 있다. 이 강의 넓이를 물어보세요.
지식 탐구 학습
그림 5.5-29 에서 볼 수 있듯이 조준할 때 총의 눈금에 있는 노치는 중심 A, 즉 조준점 C (위) 를 따라 직선이 되어야 목표물에 맞을 수 있습니다. 기관단총의 기준선 AB 길이는 38.5cm 로 알려져 있습니다. 사격 거리 AC = 100 m 인 경우 간격 내 조준 편차 BB' 가 1mm 이면 편차가 발생합니다.
답안을 참고하다
첫째, 1. 1:92. 3. 25 4.4 제곱 센티미터 및 9 제곱 센티미터 5.9: 46. 16: 257
.1:3 8.2 9.4: 910.8cm,10cm
둘째,1.d2.b3.b4.b5.d6.b7.a8.c9.c10.d.
셋. 1.① ① ② 생략
인증서 △ ACD ∯ △ CBD
3.1:12
4. 먼저 증명 △ ADF △ △ EDB, 그리고 증명 △ AGD ∯ △ gbd.
5. 짝수 EC, 인증서 △ FEC △ CEG
품질 최적화 교육 ef = 9.6 eh = 7.2
이 강은 폭이 37.5 미터이다.
지식 탐구 학습의 영향 편차 cc' 는 약 26.0cm 이다