1，戈爾茨坦定理:戈爾茨坦級數的快速增長其實很容易理解。指數函數最初增長很快。古德斯坦級數增加了基數，指數上的基數，指數上的基數，最終指數增加了1，因此獲得的新數當然比原始數大很多倍。難以理解的是果爾德施坦因定理的結論。在有限步之後，Goldstein級數將收斂到0。

2.集合的序數:我們可以從小時候開始數數，兩三歲的孩子可能能從1數到10。然而，如果我們認真思考壹下，即使我們長大了，僅僅通過數數，我們也沒有比三歲的孩子提高多少。我們只是將計數能力擴展到最多10、1000、1000和10000。基數和序數在有限集裏是同壹個東西，但在無限集中是完全不同的概念。

哥德爾不完全定理:

哥德爾不完全定理是美國著名數學家哥德爾在1931中提出的。這個理論證明，任何形式系統，只要包括壹個簡單的初等數論描述並且是自洽的，就壹定包含壹些命題，這些命題是某些系統中允許的方法既不能證明真理也不能證偽的。它使數學的基礎研究發生了劃時代的變化，是現代邏輯史上壹個非常重要的裏程碑。

這個結果摧毀了數學中壹個叫做希爾伯特計劃的哲學嘗試。戴維·希爾伯特建議，像實分析這樣的復雜系統的兼容性可以通過壹個更簡單的系統來證明。最終，所有數學的兼容性都可以歸結為基礎算術的兼容性。但哥德爾第二定理證明，基本算術的兼容性本身無法證明，因此不能用來證明比它更強的系統的兼容性。