勾股定理的16种证明法

证法1（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.?从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a

+ b，所以面积相等. 即a?+b?+4x1/2ab=c?+4x1/2ab，整理得a?+b?=c?。

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证法2（邹元治证明）以a、b

为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab2形的面积等于.

把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上. ∵ RtΔHAE ≌

RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF.∵ ∠AEH + ∠AHE = 90o, ∴ ∠AEH + ∠BEF = 90o. ∴ ∠HEF =

180o―90o= 90o.∴ 四边形EFGH是一个边长为c的正方形. 它的面积等于c2. ∵ RtΔGDH ≌ RtΔHAE,∴ ∠HGD =

∠EHA. ∵ ∠HGD + ∠GHD = 90o,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90o.又∵ ∠GHE = 90o,∴ ∠DHA =

90o+ 90o= 180o.∴ ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于(a+b)?.∴(a+b)?=4x1/2ab+c?∴

a?+b?=c?。

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证法3（赵爽证明）以a、b

为直角边（b>a），以c为斜边作四个全等的直角三角形，则每个直角 1ab2三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状. ∵

RtΔDAH ≌ RtΔABE,∴ ∠HDA = ∠EAB.∵ ∠HAD + ∠HAD = 90o，∴ ∠EAB + ∠HAD = 90o，

2∴ ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c.∵ EF = FG =GH =HE = b―a ,∠HEF = 90o.∴

EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于(b-a)?.∴(b-a)?=4x1/2ab+c?∴ a?+b?=c?。

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证法4（1876年美国总统Garfield证明）以a、b

为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角1ab形的面积等于2.

把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上. ∵ RtΔEAD ≌ RtΔCBE,∴ ∠ADE = ∠BEC. ∵

∠AED + ∠ADE = 90o, ∴ ∠AED + ∠BEC = 90o.∴ ∠DEC = 180o―90o= 90o. ∴

ΔDEC是一个等腰直角三角形， 12c2它的面积等于.又∵ ∠DAE = 90o, ∠EBC = 90o,∴ AD∥BC.∴

ABCD是一个直角梯形，它的面积等于1/2(a+b)?.∴1/2(a+b)?=2x1/2ab+1/2c?∴ a?+b?=c?。

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证法5（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b

，斜边长为c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上. 过C作AC的延长线交DF于点P.∵ D、E、F在一条直线上,

且RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED，∵ ∠EGF + ∠GEF = 90°， ∴ ∠BED + ∠GEF =

90°，∴ ∠BEG =180o―90o= 90o. 又∵ AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG是一个边长为c的正方形. ∴

∠ABC + ∠CBE = 90o.∵ RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD. ∴ ∠EBD + ∠CBE = 90o.

即 ∠CBD= 90o. 又∵ ∠BDE = 90o，∠BCP = 90o， BC = BD = a.∴

BDPC是一个边长为a的正方形.同理，HPFG是一个边长为b的正方形.设多边形GHCBE的面积为S，则a?+b?=S+2x1/2ab,c?=S+2x1/2ab∴a?+b?=c?.

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证法6（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a）

，斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上. 过点Q作QP∥BC，交AC于点P.

过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点F作FN⊥PQ，垂足为N. ∵ ∠BCA = 90o，QP∥BC， ∴ ∠MPC = 90o， ∵

BM⊥PQ， ∴ ∠BMP = 90o， ∴ BCPM是一个矩形，即∠MBC = 90o. ∵ ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA =

90o，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC = 90o， ∴ ∠QBM = ∠ABC，又∵ ∠BMP = 90o，∠BCA = 90o，BQ =

BA = c，∴ RtΔBMQ ≌ RtΔBCA.同理可证RtΔQNF ≌ RtΔAEF.从而将问题转化为证法4（梅文鼎证明）.

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证法7（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点在一条直线上，连结

BF、CD. 过C作CL⊥DE，交AB于点M，交DE于点L. K∵ AF = AC，AB = AD， ∠FAB = ∠GAD， ∴ ΔFAB ≌

ΔGAD， 12a∵ ΔFAB的面积等于2，ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半，?∴ 矩形ADLM的面积

=a?同理可证，矩形MLEB的面积 =b?.∵ 正方形ADEB的面积 = 矩形ADLM的面积 + 矩形MLEB的面积∴ c?=a?+b? 。

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证法8（利用相似三角形性质证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.在ΔADC和ΔACB中，

∵ ∠ADC = ∠ACB = 90o，∠CAD = ∠BAC， ∴ ΔADC ∽ ΔACB.AD∶AC = AC ∶AB，即

AC?=ADXAB.同理可证，ΔCDB ∽ ΔACB，从而有 BC?=BDxAB.∴ AC?+BC?=(AD+DB)xAB=AB?，即

a?+b?=c?、

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证法9（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.

再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AF⊥AC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BP⊥AF，垂足为P.

过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H. ∵ ∠BAD = 90o，∠PAC = 90o，∴ ∠DAH = ∠BAC. 又∵

∠DHA = 90o，∠BCA = 90o， AD = AB = c， ∴ RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴ DH = BC = a，AH =

AC = b由作法可知， PBCA 是一个矩形，所以 RtΔAPB ≌ RtΔBCA. 即PB =CA = b，AP= a，从而PH =

b―a.∵ RtΔDGT ≌ RtΔBCA ,RtΔDHA ≌ RtΔBCA.∴ RtΔDGT ≌ RtΔDHA .∴ DH = DG =

a，∠GDT = ∠HDA .又∵ ∠DGT = 90o，∠DHF = 90o，∠GDH = ∠GDT + ∠TDH = ∠HDA+ ∠TDH =

90o，∴ DGFH是一个边长为a的正方形.∴ GF = FH = a . TF⊥AF，TF = GT―GF = b―a .∴

TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP= b，高FP=a +（b―a）.

用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为c?=S?+S?+S?+S?+S? ①∵

S?+S?+S?=1/2[b+(b-a)]x[a+(b-a)]=b?-1/2abS?=S?+S?∴S?+S?=b?-1/2ab-S=b?-S?-S?

②把②代入①，得?C?=S?+S?+b?-S?-S?+S?+S?=b?+S?+S?=b?+a?∴ a?+b?=c?.

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证法10（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.

做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）.∵ ∠TBE =

∠ABH = 90o， ∴ ∠TBH = ∠ABE. R又∵ ∠BTH = ∠BEA = 90o，BT = BE = b， ∴ RtΔHBT ≌

RtΔABE. ∴ HT = AE = a. ∴ GH = GT―HT = b―a. 又∵ ∠GHF + ∠BHT = 90o， ∠DBC +

∠BHT = ∠TBH + ∠∴ ∠GHF = ∠DBC. ∵ DB = EB―ED = b―a，∠HGF = ∠BDC = 90o，∴

RtΔHGF ≌ RtΔBDC. 即 S?=S?.过Q作QM⊥AG，垂足是M. 由∠BAQ = ∠BEA = 90o，可知 ∠ABE=

∠QAM，而AB = AQ = c，所以RtΔABE ≌ RtΔQAM . 又RtΔHBT ≌ RtΔABE. 所以RtΔHBT ≌

RtΔQAM . 即 S?=S?.由RtΔABE ≌ RtΔQAM，又得QM = AE = a，∠AQM = ∠BAE.∵ ∠AQM +

∠FQM = 90o，∠BAE + ∠CAR = 90o，∠AQM = ∠BAE， ∴ ∠FQM = ∠CAR.又∵ ∠QMF = ∠ARC =

90o，QM = AR = a，∴ RtΔQMF ≌ RtΔARC. 即S?=S?.C?=S?+S?+S?+S?+S?, a?=S?+S?

b?=S?+S?+S?，又∵

S?=S?，S?=S?，S?=S?，∴a?+b?=S?+S?+S?+S?+S?=S?+S?+S?+S+?S?=c?，即 a?+b?=c?.

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证法11（利用切割线定理证明）在

RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c. 如图，以B为圆心a为半径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD

= BE = BC = a. 因为∠BCA = 90o，点C在⊙B上，所以AC是⊙B 的切线.

由切割线定理，得AC?=AExAD=(AB+BE)(AB-BD)?=(c+a)(c-a)= c?-a?，即b?=c?-a?，∴

a?+b?=c?.

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证法12（利用多列米定理证明）在RtΔABC中，设直角边BC

= a，AC = b，斜边AB = c（如图）. 过点A作AD∥CB，过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.

根据多列米定理，圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有ABxDC=ADxBC+ACxBD，∵ AB = DC = c，AD = BC =

a， AC = BD = b，∴ AB?=BC?+AC?，即 c?=a?+b?.

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证法13（作直角三角形的内切圆证明）

在RtΔABC中，设直角边BC = a，AC = b，斜边AB = c.

作RtΔABC的内切圆⊙O，切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.∵ AE = AF，BF = BD，CD = CE，∴

AC+BC-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF+BF)= CE+CD= r + r = 2r,即 a+b-c=2r，∴

a+b=2r+c.∴(a+b)?=(2r+c)?即a?+b?+2ab=4(r?+rc)+c?∵ S△ABE=1/2ab，∴

2ab=4S△ABE，又∵ S△ABE=S△AOB+S△BOC+S△AOC

=1/2cr+1/2ar+1/2br=1/2(a+b+c)r=1/2(2r+c+c)r=r?+rc，∴4(r?+rc)=4S△ABC，∴4(r?+rc=

2ab∴a?+b?+2ab=2ab+c?，?∴ a?+b?=c?.

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证法14（利用反证法证明）如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过点C作CD⊥AB，垂足是D.假设a?+b?不等于c?.，即假设

AC?+BC?不等于AB?，则由 AB?=ABxAB=AB(AD+BD)=ABxAD+ABxBD22可知 AC?不等于ABxAD，或者

BC?不等于ABxBD. 即 AD：AC≠AC：AB，或者 BD：BC≠BC：AB.在ΔADC和ΔACB中，∵ ∠A = ∠A， ∴ 若

AD：AC≠AC：AB，则∠ADC≠∠ACB. 在ΔCDB和ΔACB中，∵ ∠B = ∠B，∴ 若BD：BC≠BC：AB，则

∠CDB≠∠ACB.又∵ ∠ACB = 90o，∴ ∠ADC≠90o，∠CDB≠90o.这与作法CD⊥AB矛盾.

所以，AC?+BC?=AB?的假设不能成立.∴ a?+b?=c?

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证法15（辛卜松证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.

作边长是a+b的正方形ABCD.?把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD(a+b)=a?+b?+2ab；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个的面积为C部分，则正方形ABCD的面积为∴

(a+b)?=4x1/2ab+c?=2ab+c?,∴ a?+b?+2ab=2ab+c?.∴a?+b?=c?.

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证法16（陈杰证明）设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.

做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. 在EH

= b上截取ED = a，连结DA、DC，则 AD = c.?∵ EM = EH + HM = b + a , ED = a， ∴(b+a)

DM = EM―ED = (b+a)―a = b.?又∵ ∠CMD = 90o，CM = a， ∠AED = 90o， AE = b，∴

RtΔAED ≌ RtΔDMC.∴ ∠EAD = ∠MDC，DC = AD = c.∵ ∠ADE + ∠ADC+ ∠MDC =180o，

M∠ADE + ∠MDC = ∠ADE + ∠EAD = 90o，∴ ∠ADC = 90o.∴

作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.∵ ∠BAF + ∠FAD = ∠DAE + ∠FAD = 90o，∴

∠BAF=∠DAE.连结FB，在ΔABF和ΔADE中，∵ AB =AD = c，AE = AF = b，∠BAF=∠DAE，∴ ΔABF ≌

ΔADE.∴ ∠AFB = ∠AED = 90o，BF = DE = a.∴ 点B、F、G、H在一条直线上.在RtΔABF和RtΔBCG中，∵

AB = BC = c，BF = CG = a，∴ RtΔABF ≌ RtΔBCG .?∵c?=S?+S?+S?+S? b?=S?+S?+S?

a?=S?+S?S?=S?=S?=S?+S?，?∴a?+b?=S?+S?+S?+S?+S?=S?+S?+S?+(S?+S?)=S?+S?+S?+S=c?∴

a?+b?=c?.

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